A. ORAN
- Aynı ölçü birimiyle ölçülebilen iki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir.
Not: a ve b reel sayılarının en az biri sıfırdan farklı olmak üzere, a/b ye a nın b ye oranı denir.
-Kesrin payı sıfır olabilir fakat paydası sıfır olamaz.
-Oranın payı ya da paydası sıfır olabilir.
-Oranlanan çoklukların birimleri aynı tür ya da aynı olmalıdır.
-Oranın sonucu birimsizdir.
Örnek : Ada 10 , Asil 20 yaşındadır. Ada ‘nın yaşının Asil’in yaşına oranı nedir?
Çözüm: İlk söylenen paya ikinci söylenen paydaya yazılır.
-Her ikisi de yaş olduğundan oranlanabilir.
Ada ‘nın yaşı
———————— = 1/2
Asil ‘in yaşı
Sorular:
1.250 gramın 5 kg ma oranı nedir?
2.30 dakikanın 1 saat 40 dakikaya oranı nedir?
3. İki sayının toplamı 16 ve farkı 2 dir. Büyük sayının küçük sayıya oranı kaçtır?
Kızının yaşının annesinin yaşına oranı 2/5 dir. Kızı 14 yaşında olduğuna göre, anne kaç yaşındadır?
4. 2a + b =8 ve a-b =1 ise a/b oranı kaçtır?
5. ABCD ve KLMN birer karedir. Karelerin çevreleri toplamı 57 cm ve taralı alan 39cm olduğuna göreoranı kaçtır?
B.ORANTI
- En az iki oranın eşitliğine orantı denir. Yani a/b oranı ile c/d nin eşitliği olan a/b=c/d ye orantı denir.
a/b=c/d ise, a ile d ye dışlar, b ile c ye içler denir.
Orantının Özellikleri:
1) a/b= c/d ise a.d= b.c
2) a/b=c/d ise, a/c=b/d dir.
a/b=c/d ise, d/b=c/a dır
a/b=c/d ise, b/a=d/c dir.
3) a : b : c = x : y : z ise, Burada, a = x . k
b = y . k c = z . k dır.
C. ORANTI ÇEŞİTLERİ
a) Doğru Orantılı Çokluklar
Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır denir.
- x ile y doğru orantılı ve k pozitif bir doğru orantı sabiti olmak üzere, y = k . x ifadesine doğru orantının denklemi denir. Bu denklemin grafiği aşağıdaki gibidir.
Örnek: * İşçi sayısı ile üretilen ürün miktarı doğru orantılıdır.
*Bir aracın hızı ile aldığı yol doğru orantılıdır.
Örnek: Bir öğrenci 4 saatte 200 soru çözerse 5 saatte kaç soru çözer?
Çözüm : 4 sa 200 soru
5 sa x soru
4. x = 5 . 200
x= 250 soru çözer.
Sorular:
- a/b= 2/3 orantısına göre a ve b maddelerinden bir karışım yapılmak isteniyor. A maddesinden 30 gr kullanılırsa b maddesinden kaç gr kullanılmalıdır?
- Şehirlerarası yolcu taşıyan bir otobüs 90 km yol almak için 18 lt mazot kullanmaktadır. Aynı otobüs 360 km yol alabilmek için kaç lt mazot kullanmalıdır?
b) Ters Orantılı Çokluklar
Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir.
- x ile y ters orantılı ve k pozitif bir ters orantı sabiti olmak üzere, y . x = k dır. Buradan , y= k / x ters orantı denklemidir.
Örnek:
* İşçi sayısı ile işin bitirilme süresi ters orantılıdır.
* Bir aracın belli bir yolu aldığı zaman ile aracın hızı ters orantılıdır.
Örnek: Bir işi 9 işçi 12 günde yaparsa , aynı işi 15 işçi kaç günde yapar?
Çözüm:
9 işçi 12 günde
15 işçi x günde
T.O. 15 . x = 9 . 12 ise x= 36 /5 günde yapar.
Sorular :
1. x ile y sayıları ters orantılıdır. x =81 iken y=40 ise , x=45 iken y kaçtır?
2. Üç kardeş 65 bilyeyi 2,3,4 ile ters orantılı olarak paylaşıyorlar .Buna göre , en az bilye alan kaç tane alır?
ARİTMETİK ORTALAMA
- n tane sayının aritmetik ortalaması bu n sayının toplamının n ye bölümüdür.
- Buna göre, x1, x2, x3, … , xn sayılarının aritmetik ortalaması,
x1+ x2+ x3+ … + xn/ n
- a ile b nin aritmetik ortalaması
a+b/2
- a, b, c biçimindeki üç sayının aritmetik ortalaması,
a+b+c/3
Örnek: 12 sayının aritmetik ortalaması 20 ise , bu sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm: Aritmetik ortalama tanımına göre , sayıların toplamı 12 ×20 = 240 olur.
Sorular:
- 7, 15, 5 sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır?
- İlk iki sınavının ortalaması 7 olan bir öğrenci üçüncü sınavından kaç almalı ki ortalaması 8 olsun?
GEOMETRİK ORTALAMA
Bir orantıda bir terimin karesi diğer iki terimin çarpımına eşit ise bu terime diğer iki terimin geometrik ortası veya iki terim arasında orta orantılı terim denir.
a:b= c:d orantısında a= d ise orantı ; a:b=c:a olur. A? = bc ise a= √bc bulunur. a için bile c arasında orta orantılıdır denir.
* n tane sayının geometrik ortalaması bu sayıların çarpımının n. dereceden köküdür. Buna göre,
- x1, x2, x3, … , x sayılarının geometrik ortalaması
- a ile b nin geometrik ortalaması (orta orantılısı) dir
- a, b, c biçimindeki üç sayının geometrik ortalaması, dir
Örnek: 4 ile 25 in geometrik ortası kaçtır?
Çözüm: 4/x= x/25 x = 100 x=10 bulunur.
Sorular:
- 4 ve 9 sayılarının geometrik ortasını bulunuz.
- 2+√3 ve 2-√3 sayılarının geometrik ortasını bulunuz.
ORANTI PROBLEMLERİ
1.) 20 lt benzinle 5 km yol giden bir araç 5 lt benzinle kaç km yol gider?
2.) 6 işçi bir işi 10 günde bitiriyor.Aynı nitelikte 15 işçi bu işi kaç günde bitirir?
3.) 8 dakikada 25 lt su akıtan bir musluk 20 dakikada kaç lt su akıtır?
4.) 80 km hızla giden bir aracın 5 saatte gittiği yolu 100 km hızla giden bir araç kaç saatte gider?
5.) 8 işçi günde 6 saat çalışarak bir işi 10 günde bitiriyor.Aynı işi aynı hızla çalışan 6 işçi günde 5 saat çalışarak kaç günde bitirir?
6.)100 inek 10 günde 800 kg saman yiyor.150 inek 15 günde kaç kg saman yer?
7.)4 boyacı 3 günde 300.000.000 TL kazanıyor.5 boyacı kaç günde 600.000.000 TL kazanır?
8.)4 kutu boya ile 80 cm genişliğinde 18 m kumaş boyanıyor.6 kutu boya ile 60 cm genişliğinde kaç m kumaş boyanır?
9.) 6 traktör günde 7 saat çalışarak bir tarlayı 4 günde sürüyor.Aynı güçte 4 traktör günde 5 saat çalışarak aynı tarlayı kaç günde sürer?
10.) 18 işçi 60 m yolu 30 günde yaparsa,12 işçi 90 m yolu kaç günde yapar?
11.) 10 işçi 3 günde 600 m³ lük havuzu kazabiliyorlar.12 işçi 1200 m³ lük havuzu kaç günde kazarlar?
12.)3500 m lik yolu 7 işçi 24 günde yapıyor.6000 m lik yolu 8 işçi kaç günde yapar?
13.) 10 işçinin 9 saat çalışarak 12 günde bitirdiği işi,kaç işçi günde 6 saat çalışarak 18 günde bitirir?
14.) 20 işçi 100 hektarlık tarlayı 15 günde çapalıyor.25 işçi 150 hektarlık tarlayı kaç günde çapalar?
15.) 3 işçi 5 günde 15 m² duvar örüyor.5 işçi 10 m² duvarı kaç günde örer?
16.) 200 m² lik duvarı 10 işçi 5 günde yapıyor. 160 m² lik duvarı 10 günde kaç işçi yapar?
17.) 3 kg iplikle 40 cm genişliğinde 120 cm atkı örülüyor.5 kg iplikle 50 cm genişliğinde kaç cm atkı örülür?
18.) 6000 lt su alan bir havuzu 5 musluk 8 saatte dolduruyor.3600 lt su alan havuzu kaç musluk 6 saatte doldurur?
Oran ve Orantı Ders Notları 2012 2013
0 yorum:
Yorum Gönder