ÜSLÜ SAYILAR, ÜSLÜ İFADELER, ÜSLÜ SAYILARIN ÖZELLİKLERİ (4) İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)
Üs Kavramı:
(a) reel sayı ve (m) bir pozitif tamsayı olmak üzere; am ifadesi, m tane (a) nın çarpımını gösterir.
am = a . a . a…a şeklinde gösterilir.
Örnekler:
23 = 2 . 2 . 2 =8
52 = 5 . 5 = 25
Özellikler:
· Sıfırdan farklı bir sayını sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir.
am = a0 = 1
Örnekler: 30 = 1
· Bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir.
am = a1 = a
Örnekler: 21 = 2
· Bir kesrin kuvvetini almak için pay ve paydasının ayrı ayrı kuvvetleri alınır.
( a )m = am
b bm
Örnekler: ( 2 )5 = 25 = 32
3 35 243
· Üslü bir ifadenin kuvveti alınırken üsler çarpılır.
(am)n = am . n
Örnekler: ( 23)2 = 23 . 2 = 26 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64
· a ¹ 0 reel sayı ve m bir pozitif tamsayı için;
a-m = 1
am
Örnekler: 23 = 1 = 1
23 8
· Bir kesrin üssü negatif ise kesir ters çevrilip üssü pozitif yapılır.
( a )-m = ( b )m
b a
Örnekler: ( 2 )-3 = ( 3 )3 =27
3 2 8
Tek veya Çift Kuvvetler:
(-2)4 = (-2) .(-2) . (-2) . (-2) = +16
Sıfırdan farklı bir sayının;
· Çift kuvvetleri pozitiftir.
· Tek kuvvetleri ise bu sayı ile aynı işaretlidir.
Üslü İfadelerde Toplama ve Çıkarma:
Tabanları ve üsleri aynı olan ifadelerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır.
Örnek
Örnek: 3a5 –8a5 + a5 toplamının sonucu nedir?
Çözüm: a5 ’lerin katsayılarını toplayalım.
(3-8+1) a5 = 4a5
Üslü İfadelerde Çarpma:
· Tabanları aynı üsleri farklı olan üslü ifadeler çarpılırken ortak taban, taban olarak alınır. Üsler toplanıp üs olarak yazılır.
am . an = am+n
· Tabanları farklı üsleri aynı olan üslü ifadeler çarpılırken tabanlar çarpılıp taban olarak yazılır ortak üs, üs olarak yazılır.
am . bm = (a+b)m
· Tabanları ve üsleri farklı molan üslü ifadeler çarpılırken, önce kuvvetler alınır sonra çarpma işlemi yapılır.
Örnek: 23 . 52 = 8 . 25 = 200
Çarpma işlemi için 2 durum vardır.
a) Tabanları aynı üsleri farklı ise aynı tabanda yazılıp üsleri toplanır.
x Î R , n, m Î Z için xm . xn = xn dir.
b) Tabanları farklı üsleri aynı ise; tabanlar çarpılır üslerden biri ortak üs olarak yazılır.
x, y Î R , n Î Z için xn . yn = (x . y) n dir.
Örnek
299 . 599 = (2.5) 99 = 1099
27 . 37 . 57 = (2.3.S) 7 = 307 dir.
(a + b) 3 . (a – b) 3 = [ (a+b) (a-b) ] 3 = (a2 – b2) 3 Başka bir örnekte tersten de düşünürsek
42 X = (2.3.7) X = 2 X . 3 X . 7 X olur.
Bir uslu sayının kuvvetinin kuvveti var ise aynı tabanda kuvvetler çarpılır.
x Î R , m, n Î Z için (xn)m = (xm) n = xm.n dir.
Örnek
(53) 2x = 56x dir.
Bunun değişik versiyonlarını elde edebiliriz.
(53) 2x = (5 X)6 = (52) 3x = (56) X = (52X) 3 = (56x) gibi.
Örnek
Örnek
Üslü İfadelerde Bölme:
· Tabanları aynı üsleri farklı olan üslü ifadeler bölünürken ortak taban, taban olarak alınır, üsler çıkarılıp üs olarak yazılır.
am = am – n
an
Örnekler: 28 = 28-5 = 23 = 8
25
· Tabanları farklı üsleri aynı üslü ifadeler bölünürken; tabanlar bölünüp taban olarak alınır. Ortak üs üs olarak yazılır.
Örnekler: ( 81 )4 = 34 = 81
27
· Tabanları ve üsleri farklı olan üslü ifadeler bölünürken tabanlar bölünüp önce kuvvetler açılır sonra bölme işlemi yapılır.
Üslü Denklemler:
Üssünde bilinmeyen bulunan denklemlere üslü denklemler denir.
Örnek: 92x – 3 = 27x –1 ise x’i bulalım.
Çözüm: (32)2x – 3 = (33)x – 1
4x – 6 = 3x – 3
x = 3 bulunur.
Çözüm
Örnek
73x-15 = 1 ise x nedir?
Çözüm
73x-15 = 1 = 7
3x-15 = 0
3x= 15
x = 5 olur.
2)
a) m tek ise; .x = y
b) m çift ise; x = + y dır.
Örnek
Örnek
10’un Kuvvetleri
a) n Î N+ olmak üzere
10 n = 1 00… 0’dır.
10 n sayısında n tane sıfır vardır ve sayı (n + 1) basamaklıdır.
b) n Î N olmak üzere
10-n sayısında virgülün sağında (n-1) tane sıfır ve n tane rakam vardır.
Örnek
700000000 = 7.108 = 70.107 = 700.106 gibi değişik şekillerde yazılabilir.
0,00015=15.10-5=1,5.10-4=0,15.10-3=150.10-6 gibi değişik şekillerde de yazabiliriz.
Çözümlü Test
1. 3 X+1 – 5.3 X + 7.3 X + 3 X = 54 ise x kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8
Çözüm
3 X. 3 – 5.3 X + 7.3 X + 3 X = 54
(3-5 + 7 + 1).3 X = 54
6.3 X = 54
3 X = 9 = 32
x – 2 dir.
Cevap : A
Çözüm
3.
işleminin sonucu nedir?
A) -4 B) -2 C) 2 D) 4 E) 5
Çözüm
Cevap : C
4.
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm
5. 3.2 x+z + 4.2 x = 8 olduğuna göre x kaçtır?
A) 2 B)1 C) O D)-1 E)-2
Çözüm
Cevap: D
6.
olduğuna göre a.b çarpımı kaçtır?
A) 12 B) 24 C) 36 D) 48 E) 60
Çözüm
Cevap : D
7. (2-1 + 2°)-2. 32 işleminin sonucu kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Çözüm
Cevap: C
8.
olduğuna göre a kaçtır?
Çözüm
Cevap : C
3 x 3 x 3 x 3 x 3 ifadesini kısaca
35 şeklinde yazabiliriz.
3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35 tir.
35 sayısı üç üssü beş veya üçün beşinci kuvveti diye okunur.
Bu sayıda taban 3, üs ise 5 tir.
*
Örnek
2 x 2 x 2 = 23,
3 x 3 x 3 x 3 = 34,
a x a x a = a3,
a x a x a x a = a4* gibi yazılabilirler.
*
*
A. TANIM
a bir gerçel (reel) sayı ve n bir sayma sayısı olmak üzere,
ifadesine üslü ifade denir.
k . an ifadesinde k ya kat sayı, a ya taban n ye üs denir.
*
*
B. ÜSLÜ İFADENİN ÖZELİKLERİ
* 1.* a ¹ 0 ise, a0 = 1 dir.
* 2.* 00 tanımsızdır.
* 3.* n Î IR ise, 1n = 1 dir.
* 4.*
* 5. *(am)n = (an)m = am . n
* 6. *
* 7. *
* 8.* Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.
* 9.* Negatif sayıların; çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
10.* n bir tam sayı ve a bir gerçel (reel) sayı olmak üzere,
a. (– a)2n = a2n ifadesi daima pozitiftir.
b. (– a2n) = – a2n ifadesi daima negatiftir.
c. (– a)2n + 1 = – a2n + 1 ifadesi
a pozitif ise negatif, a negatif ise pozitiftir.
11.*
12.*
*
*
C. ÜSLÜ SAYILARDA SIRALAMA
1 den büyük üslü doğal sayılarda sıralama yapılırken,
Tabanlar eşitse; üssü küçük olan daha küçüktür.
Üsler eşitse; tabanı küçük olan daha küçüktür.
*
*
D. ÜSLÜ İFADELERDE DÖRT İŞLEM
1.* x . an + y . an – z . an = (x + y – z) . an
2.* am . an = am + n
3.* am . bm = (a . b)m
4. *
5. *
*
*
E. ÜSLÜ DENKLEMLER
1.* a ¹ 0, a ¹ 1, a ¹ – 1 olmak üzere, ax = ay ise x = y dir.
2.* n, 1 den farklı bir tek sayı ve xn = yn ise, x = y dir.
3.* n, 0 dan farklı bir çift sayı ve xn = yn ise, x = y veya x = – y dir.
4.*
Üslü sayılar konusu, üslü sayılar özet anlatımı
0 yorum:
Yorum Gönder